Circulo trigonométrico.

Círculo Trigonométrico

Considere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o ponto A=(1,0). O ponto A será tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido positivo considerado será o anti-horário. A região contendo esta circunferência e todos os seus pontos interiores, é denominada círculo trigonométrico

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Nos livros de língua inglesa, a palavra círculo se refere à curva envolvente da região circular enquanto circunferência de círculo é a medida desta curva. No Brasil, a circunferência é a curva que envolve a região circular.

Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico em quatro quadrantes que são enumerados como segue:

2o. quadrante abscissa: negativa ordenada: positiva 90º<ângulo<180º		1o. quadrante abscissa: positiva ordenada: positiva 0º<ângulo<90º
3o. quadrante abscissa: negativa ordenada: negativa 180º<ângulo<270º		4o. quadrante abscissa: positiva ordenada: negativa 270º<ângulo<360º

Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de ângulos trigonométricos. Por convenção, os pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes.

Arcos com mais de uma volta

Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos cujas medidas sejam maiores do que 360º. Por exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre uma circunferência no sentido anti-horário e para em um ponto M, ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus) poderá ser menor ou igual a 360º ou ser maior do que 360º. Se esta medida for menor ou igual a 360º, dizemos que este arco está em sua primeira determinação.

Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou mais vezes em um determinado sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores do que 360º ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcos mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o ponto M.

Seja o arco AM cuja primeira determinação tenha medida igual a m. Um ponto móvel que parte de A e pare em M, pode ter várias medidas algébricas, dependendo do percurso.

Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferência trigonométrica será extremidade de uma infinidade de arcos positivos de medidas

m, m+2, m+4, m+6, ...

Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de arcos negativos de medidas algébricas

m-2, m-4, m-6, ...

e temos assim uma coleção infinita de arcos com extremidade no ponto M.

Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determinação positiva do arco AM, podemos representar as medidas destes arcos por:

µ(AM) = m + 2k

onde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao conjunto Z={...,-2,-3,-1,0,1,2,3,...}.

Família de arcos: Uma família de arcos {AM} é o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A e extremidade em M.

Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade em M, com a primeira determinação positiva medindo 2/3, então os arcos desta família {AM}, medem:

Determinações positivas (sentido anti-horário)
k=0	µ(AM)=2/3
k=1	µ(AM)=2/3+2=8/3
k=2	µ(AM)=2/3+4=14/3
k=3	µ(AM)=2/3+6=20/3
...	...
k=n	µ(AM)=2/3+2n=(2+6n)/3

Determinações negativas (sentido horário)
k=-1	µ(AM)=2/3-2=-4/3
k=-2	µ(AM)=2/3-4=-6/3
k=-3	µ(AM)=2/3-6=-16/3
k=-4	µ(AM)=2/3-8=-22/3
...	...
k=-n	µ(AM)=2/3-2n=(2-6n)/3

Arcos côngruos e Ângulos

Arcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferença de suas medidas é um múltiplo de 2.

Exemplo: Arcos de uma mesma família são côngruos.

Ângulos: As noções de orientação e medida algébrica de arcos podem ser estendidas para ângulos, uma vez que a cada arco AM da circunferência trigonométrica corresponde a um ângulo central determinado pelas semi-retas OA e OM.

Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângulos orientados um positivo (sentido anti-horário) com medida algébrica a correspondente ao arco AM e outro negativo (sentido horário) com medida b=a-2 correspondente ao arco AM.

Existem também ângulos com mais de uma volta e as mesmas noções apresentadas para arcos se aplicam para ângulos.

Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OX

Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica, com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em relação ao eixo horizontal OX. Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM' é dada por: µ(AM')=2-m.

Os arcos da família {AM}, aqueles que têm origem em A e extremidades em M, têm medidas iguais a 2k+m, onde k é um número inteiro e os arcos da família {AM'} têm medidas iguais a 2k-m, onde k é um número inteiro.

Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OY

Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em relação ao eixo vertical OY. Se a medida do arco AM for igual a m, então a medida do arco AM' será dada pela expressão µ(AM')=-m.

Os arcos da família {AM'}, isto é, aqueles com origem em A e extremidade em M', medem 2k+-m=(2k+1)-m onde k é um número inteiro.

Arcos com a mesma origem e extremidades simétricas em relação à origem

Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em relação a origem (0,0).

Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM' é dada por: µ(AM')=+m. Arcos genéricos com origem em A e extremidade em M' medem:

µ(AM') = 2k  +  + m = (2k+1) + m

TRIGONOMETRIA.2

O papel da trigonometria

A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).

Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.

A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.

Ponto móvel sobre uma curva

Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.

Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo.

Arcos da circunferência

Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco.

Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.

Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades.

Medida de um arco

A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB.

Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).

A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de um arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo se o sentido for horário.

O número pi

Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada pela letra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número  é dada por:

 = 3,1415926535897932384626433832795...

Mais informações sobre o número pi, podem ser obtidas na nossa página Áreas de regiões circulares.

Unidades de medida de arcos

A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.

Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.

Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.

Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.

Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo 8 cm, fazemos,

m(AB)=	comprimento do arco(AB) comprimento do raio	=	12 8

Portanto m(AB)=1,5 radianos

Arcos de uma volta

Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2r, então:

m(AB)=	comprimento do arco(AB) comprimento do raio	=	2r r	=	2

Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2 rad, isto é,

2 rad=360 graus

Podemos estabelecer os resultados seguintes

Desenho
Grau	90	180	270	360
Grado	100	200	300	400
Radiano	/2		3/2	2

0 graus = 0 grado = 0 radianos

Mudança de unidades

Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção,

2  rad …………… 360 graus
R rad  ……………  G  graus

Assim, temos a igualdade R/2=G/360, ou ainda,

R	=	G 180

Exemplos

1. Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos

   R	=	60 180

   Assim R=/3 ou 60 graus=/3 rad
2. Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos:

   1	=	G 180

   Asim 1 rad=180/ graus.

Você pode obter mais informações sobre o grau e o radiano, com notas históricas, ilustrações e curiosidades na nossa página sobre Geometria Plana: Ângulos

TRIGONOMETRIA.