TRIGONOMETRIA Hiperbólica.

unções exponenciais reais

A função exponencial é uma das mais importantes da Matemática. Esta função é definida por f:RR através de

f(t) = exp(t) = e^t

No plano R², podemos obter a reflexão do gráfico desta função em relação ao eixo OY, que nos dá outra função exponencial g:RR definida por

g(t) = exp(-t) = e^-t

Os gráficos destas funções podem ser vistos abaixo.

Observamos que tais funções são positivas. f(t)=e^t (cor vermelha) é crescente e g(t)=e^-t (cor azul) é decrescente.

Com estas funções, definimos outras funções da Matemática bastante utilizadas nas ciências em geral, inclusive na própria Matemática.

Cosseno hiperbólico e Seno hiperbólico

As funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, são definidas, respectivamente, por:

      

A função cosh é positiva, enquanto que senh é positiva para parâmetros positivos reais, negativos para parâmetros negativos reais e se anula em t=0.

Com estas duas funções cosh (cor vermelha) e senh (cor azul), também podemos definir outras funções da Matemática.

Aplicação: Ao observar um fio usado para transporte de energia elétrica, preso em dois postes, notamos que o peso do mesmo faz com que ele fique meio arredondado, dando a impressão que o gráfico formado pela curva representa uma parábola, mas na verdade, tal curva é o gráfico da função cosseno hiperbólico, conhecida como a catenária (do Latim catena=cadeia) pois foi através de uma corrente metálica formada por elos (cadeias) que se observou primeiramente tal curva.

Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante hiperbólicos

As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicos, são respectivamente definidas por:

tgh(t) = senh(t)/cosh(t)
coth(t) = cosh(t)/senh(t)
sech(t) = 1/cosh(t)
csch(t) = 1/senh(t)

quando os denominadores são diferentes de zero.

Relação fundamental da trigonometria hiperbólica

Ao tomar a diferença dos quadrados das funções cosh e senh, obtemos:

cosh²(t)-senh²(t)=[½(e^t+e^t)]²-[½(e^t+e^t)]²

efetuando as operações temos que

cosh²(t) - senh²(t) = 1

que é uma relação notável na Trigonometria hiperbólica.

Porque trigonometria hiperbólica?

A construção da trigonometria circular, é realizada sobre uma circunferência de raio unitário, dada por x²+y²=1. Tomando x=cos(t) e y=sen(t), observamos a relação fundamental da trigonometria circular:

cos²(t) + sen²(t) = 1

onde t é o ângulo (tomado em radianos).

Na construção da trigonometria hiperbólica, usamos uma curva denominada hipérbole, representada por x²-y²=1. Tomando x=cosh(t) e y=senh(t), observamos a relação fundamental da trigonometria hiperbólica:

cosh²(t) - senh²(t) = 1

onde t é um parâmetro real que pode ser interpretado geometricamente.

Trigonometria circular versus Trigonometria hiperbólica

Praticamente todas as propriedades da trigonometria circular podem ser transladadas para a trigonometria hiperbólica, com o cuidado de observar muitas vezes a troca do sinal de "+" pelo sinal de "-".

Trigonometria circular	Trigonometria hiperbólica
x² + y² = 1	x² - y² = 1
cos²(t) + sen²(t) = 1	cosh²(t) - senh²(t) = 1
tg(t) = sen(t)/cos(t)	tgh(t) = senh(t)/cosh(t)
cot(t) = cos(t)/sen(t)	coth(t) = cosh(t)/senh(t)
sec(t) = 1/cos(t)	sech(t) = 1/cosh(t)
csc(t) = 1/sen(t)	csch(t) = 1/senh(t)
sen(2t)=2sen(t)cos(t)	senh(2t)=2senh(t)cosh(t)
cos(2t)=cos²(t)-sen²(t)	cosh(2t)=cosh²(t)+senh²(t)
tg(2t)=2tg(t)/(1-tg²(t))	tgh(2t)=2tgh(t)/(1+tgh²(t))

Para as derivadas, temos a tabela:

Trigonometria circular		Trigonometria hiperbólica
Função	Derivada	Função	Derivada
sen(t)	cos(t)	senh(t)	cosh(t)
cos(t)	-sen(t)	cosh(t)	senh(t)
tg(t)	sec²(t)	tgh(t)	sech²(t)

Funções inversas da trigonometria hiperbólica

É possível definir a função inversa de cosh, que será identificada por arccosh, assim como de todas as outras funções trigonométricas hiperbólicas. O procedimento é semelhante em todos os seis casos.

Se cosh(u)=t, obteremos o valor de u em função de t, denotando-o por qualquer uma das duas formas abaixo:

u = arccosh(t) = cosh^-1(t)

Pela definição dada na parte inicial desta página, segue que:

t = cosh(u) = ½(e^u + e^-u)

logo

2t = e^u + 1/e^u

Tomando e^u=x, obteremos 2t=x+1/x, ou seja, x²-2tx+1=0. Resolvendo esta equação do segundo grau em x e usando a notação R[z] para a raiz quadrada de z>0, obteremos:

e^u = x = t + R[t²-1]

Aplicando o logaritmo natural a ambos os membros dessa igualdade, obtemos:

u = log(t+R[t²-1])

Assim, a função inversa de cosh é a função definida por:

arccosh(t) = cosh^-1(t) = log(t + R[t²-1])

Integrais difíceis e Aplicações

Com a trigonometria circular

Para calcular separadamente, por métodos comuns, cada uma das integrais:

    

teremos dificuldades, mas se calcularmos as duas ao mesmo tempo, teremos o nosso trabalho facilitado! A soma e a diferença dessas duas integrais juntamente com as relações da Trigonometria circular,

cos²(t) + sen²(t) = 1
cos²(t)-sen²(t)=cos(2t)

teremos

resolvendo o sistema:

C + S = 
C - S = 0

obteremos,

C = S = /2

Aplicação: Já sabemos do Ensino Fundamental que a área do círculo envolvido pela circunferência x²+y²=r² é dado por A=r². Podemos obter tal resultado através de uma integral com uma substituição trigonométrica.

Explicitaremos y em função de x e consideraremos esta função no primeiro quadrante para obter para 0<x<r:

y(x) = R[r²-x²]

em que a notação R[z] representa a raiz quadrada de z>0.

A integral dessa função no intervalo [0,r] nos fornece a área A que corresponde à área da quarta parte do círculo.

Usando a mudança de variáveis x=rsen(t), dx=rcos(t)dt, obteremos:

Com a trigonometria hiperbólica

Para calcular separadamente, por métodos comuns, cada uma das integrais:

    

teremos dificuldades, mas se calcularmos as duas ao mesmo tempo, teremos o nosso trabalho muito facilitado!

A soma e a diferença dessas duas integrais juntamente com as relações da Trigonometria hiperbólica,

cosh²(t) - senh²(t) = 1
cosh²(t)+senh²(t)=cosh(2t)

nos dá:

U - V = x
U + V = ½ senh(2x) = senh(x).cosh(x)

logo

U = ½(x+senh(x).cosh(x))
V = ½(-x+senh(x).cosh(x))

Aplicação: Obteremos a área da região do 1o. quadrante localizada sob a hipérbole x²-y²=1, acima do eixo OX e à esquerda da reta x=t.

Usaremos a integral com uma substituição trigonométrica hiperbólica. Inicialmente, explicitando o valor de y em função de x e consideraremos esta função no 1o. quadrante para obter, com 1<x<t:

y(t) = R[x²-1]

A integral dessa função no intervalo [1,t] nos fornece:

Com a mudança de variáveis x=cosh(v), dx=senh(v)dv teremos a integral indefinida:

I = integral(R[cosh²(v)-1] senh(v)dv)
  = integral(senh²(v))dv
  = ½[-v + senh(v).cosh(v)]

Voltando às variáveis originais, poderemos escrever:

I = ½ (-arccosh(x) + x R[x²-1])

Desse modo, a área desejada será dada por:

Área = ½(-arccosh(t) + t R[t²-1])

ou então,

Área = ½(-log(t + R[t²-1]) + t R[t²-1])

Funções trigonométricas inversas.

Funções trigonométricas inversas

Uma função f, de domínio D possui inversa somente se f for bijetora, por este motivo nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de definição, mas podemos tomar subconjuntos desses domínios para gerar novas função que possuam inversas.

Exemplo: A função f(x)=cos(x) não é bijetora em seu domínio de definição que é o conjunto dos números reais, pois para um valor de y correspondem infinitos valores de x. Por exemplo, se cos(x)=1, podemos tomar x=0, x=2, x=4, x=-2, etc, isto é x=2k, onde k é um número inteiro, isto quer dizer que não podemos definir a inversa de f(x)=cos(x) em seu domínio. Devemos então restringir o domínio para um subconjunto dos números reais onde a função é bijetora.

Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos onde elas são bijetoras. É usual escolher como domínio, intervalos onde o zero é o ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a função percorra todo seu conjunto imagem.

Função arco-seno

Consideremos a função f(x)=sen(x), com domínio no intervalo [-/2,/2] e imagem no intervalo [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo seno, definida por f^-1:[-1,1][-/2,/2] é denotada por

f^-1(x) = arcsen(x)

Gráfico da função arco-seno:

Função arco-cosseno

Seja a função g(x)=cos(x), com domínio [0,] e imagem [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo cosseno é definida por g^-1:[-1,1][0,] e denotada por

g^-1(x) = arccos(x)

Gráfico da função arco-cosseno:

Função arco-tangente

Dada a função f(x)=tan(x), com domínio (-/2,/2) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-tangente é definida por f^-1:R(-/2,/2) e denotada por

f^-1(x) = arctan(x)

Gráfico da função arco-tangente:

Função arco-cotangente

Dada a função f(x)=cot(x), com domínio (0,) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-cotangente é definida por f^-1:R(0,) e denotada por

f^-1(x) = arccot(x)

Gráfico da função arco-cotangente:

Funções trigonométricas circulares.

Funções circulares

As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.

Funções reais

Devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais, iniciaremos então com a definição de funções.

Função: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f de A em B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B.

O conjunto A é denominado o domínio de f, o conjunto B é denominado contradomínio de f. O elemento y de B que corresponde ao elemento x de A de acordo com a lei f, é denominado imagem de x por f e é indicado por y=f(x).

O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de A é denominado conjunto Imagem de f.

Uma função f é denominada função real de variável real, se o domínio e contradomínio de f são subconjuntos do conjunro dos números reais.

Função periódica: Uma função real f, com domínio em A subconjunto da reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T, tal que para todo x em A, vale

f(x+T) = f(x)

Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor número positivo T, que satisfaz a esta condição recebe o nome de período fundamental.

Exemplo: A função real definida por f(x)=x-[x], onde [x] é a parte inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica de período fundamental T=1.

Função limitada: Uma função f de domínio A contido em R é limitada, se existe um número real positivo L, tal que para todo x em A, valem as desigualdades:

-L < f(x) < L

Esta última expressão pode ser escrita como |f(x)|<L.

Exemplo: A função real f(x)=2x/(1+x²) é limitada pois

-1 < x/(1+x²) < 1

Funções crescentes e decrescentes

Seja f uma função definida em um intervalo I, x e y dois valores quaisquer pertencentes a I, com x<y. Afirmamos que f é crescente, se f(x)<f(y) e que f é decrescente, se f(x)>f(y).

Exemplo: A função real f(x)=2x+1 é crescente e a função real f(x)=e^-x é decrescente.

Funções pares e ímpares

1. Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do domínio de f:
   f(-x) = f(x)
   Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY.
   Exemplo: A função real definida por f(x)=x² é par.
2. Função ímpar: Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do domínio de f:
   f(-x) = -f(x)
   Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0,0) do sistema de eixos cartesiano.
   Exemplo: A função real definida por f(x)=x³ é ímpar.

Função seno

Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a cada x em R, o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por f(x)=sen(x) ou y=sen(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	0	½	1	½	0	-½	-1	-½	0

Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.

Propriedades da função seno

1. Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.
2. Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1<y<1}
3. Periodicidade: A função é periódica de período 2. Para todo x em R e para todo k em Z:
   sen(x) = sen(x+2) = sen(x+4) =...= sen(x+2k)
   Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos
   sen(x+2k) = sen(x)cos(2k ) + cos(x)sen(2k )
   para k em Z, cos(2k )=1 e sen(2k )=0
   sen(x+2k) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)
   A função seno é periódica de período fundamental T=2.
   Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2.
   
4. Sinal:

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função seno	positiva	positiva	negativa	negativa

5. Monotonicidade:

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função seno	crescente	decrescente	decrescente	crescente

6. Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:
   -1 < sen(x) < 1
7. Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:
   sen(-x) = -sen(x)

Função cosseno

Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o número real cos(x). Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y=cos(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	1	½	0	½	-1	-½	0	½	1

Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.

Propriedades da função cosseno

1. Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos)=R.
2. Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1}
3. Periodicidade: A função é periódica de período 2. Para todo x em R e para todo k em Z:
   cos(x)=cos(x+2)=cos(x+4)=...=cos(x+2k)
   Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos
   cos(x+2k)=cos(x) cos(2k )-sen(x) sen(2k )
   Para todo k em Z: cos(2k )=1 e sen(2k)=0, então
   cos(x+2k)=cos(x) (1)-sen(x) (0)=cos(x)
   A função cosseno é periódica de período fundamental T=2.
   
4. Sinal:

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função cosseno	positiva	negativa	negativa	positiva

5. Monotonicidade:

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função cosseno	decrescente	decrescente	crescente	crescente

6. Limitação: O gráfico de y=cos(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:
   -1 < cos(x) < 1
7. Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, tem-se que:
   cos(-x) = cos(x)

Função tangente

Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1)/2 onde k está em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x).

f(x) = tan(x) =	sen(x) cos(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	0	1	não existe	-1	0	1	não existe	-1	0

Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).

Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo de /2 (ou de -/2), a função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.

Propriedades

1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k, onde k em Z, temos
   Dom(tan)={x em R: x diferente de /2+k}
2. Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
3. Periodicidade A função é periódica e seu período é 
   Para todo x em R, sendo x diferente de /2+k, onde k pertence a Z
   tan(x)=tan(x+)=tan(x+2)=...=tan(x+k)
   Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos

   tan(x+k) =	tan(x)+tan(k) 1-tan(x).tan(k)	=	tan(x)+0 1-tan(x).0	= tan(x)

   A função tangente é periódica de período fundamental T=.
   Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
   
4. Sinal:

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função tangente	positiva	negativa	positiva	negativa

5. Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x=k/2, k inteiro, onde a função não está definida.
6. Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1)/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a tangente está definida, tem-se que:
   tan(x)=-tan(-x)

Função cotangente

Como a cotangente não existe para arcos da forma (k+1) onde k é um inteiro, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada x real, a cotangente de x, denotada por:

f(x)=cot(x)=	cos(x) sen(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	não existe	1	0	-1	não existe	1	0	-1	não existe

Gráfico: O segmento Os' mede cot(x).

Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco AM está próxima de  (ou -), podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito radamente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interceção com a reta s vai se tornando muito longe.

Propriedades

1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma +k, onde k em Z, temos
   Dom(cot)={x em R: x é diferente de (k+1)}
2. Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
3. Periodicidade A função é periódica e seu período é 
   Para todo x em R, sendo x diferente de +k, onde k em Z
   cot(x)=cot(x+)=cot(x+2)=...=cot(x+k)
   A função cotangente é periódica de período fundamental 2.
   
4. Sinal:

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função tangente	positiva	negativa	positiva	negativa

5. Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x=k, k inteiro, onde a função não está definida.
6. Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:
   cot(x)=-cot(-x)

Função secante

Como a secante não existe para arcos da forma (2k+1)/2 onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função secante como a relação que associa a este x real, a secante de x, denotada por sec(x).

f(x)=sec(x)=	1 cos(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	1		não existe	-	-1	-	não existe		1

Gráfico: O segmento OV mede sec(x).

Quando x assume valores próximos de /2 ou de 3/2, cos(x) se aproxima de zero e a fração 1/cos(x) em valor absoluto, tende ao infinito.

Propriedades

1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k, onde k em Z, temos
   Dom(sec)={x em R: x é diferente de (2k+1)/2}
2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da secante, temos que sec(x) < -1 ou sec(x) ³ 1, assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjuntos:
   Im(sec)={y emR: y < -1    ou    y ³ 1}
3. Periodicidade A função é periódica e seu período é 2
   Para todo x em R, sendo x diferente de +k, onde k em Z
   sec(x)=sec(x+2)=sec(x+4)=...=sec(x+2k),
   por este motivo, a função secante é periódica e seu período é 2, podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
   
4. Sinal:

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função secante	positiva	negativa	negativa	positiva

5. Monotonicidade:

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função secante	crescente	crescente	decrescente	decrescente

6. Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1)/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função secante é par, pois para todo x onde a secante está definida, tem-se que:
   sec(x)=sec(-x)

Função cossecante

Como a cossecante não existe para arcos da forma k onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definir a função cossecante como a relação que associa a este x real, a cossecante de x, denotada por csc(x)

f(x)=csc(x)=	1 sen(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	não existe		1		não existe	-	-1	-	não existe

Gráfico: O segmento OU mede csc(x).

Quando x assume valores próximos de 0,  ou de 2, sen(x) se aproxima de zero e a fração 1/sen(x) em valor absoluto, tende ao infinito.

Propriedades

1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma k, onde k em Z, temos
   Dom(csc)={x em R: x diferente de k}
2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da cossecante, temos que csc(x)<-1 ou csc(x)>1, assim o conjunto imagem da cossecante é dado pelos conjuntos:
   Im(csc)={y em R: y < -1    ou    y > 1}
3. Periodicidade: A função é periódica e seu período é 2
   Para todo x em R, sendo x diferente de k, onde k em Z
   csc(x)=csc(x+)=csc(x+2)=...=csc(x+k)
   por este motivo, a função cossecante é periódica e seu período é 2, podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
   
4. Sinal:

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função cossecante	positiva	positiva	negativa	negativa

5. Monotonicidade:

   Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
   Função cossecante	decrescente	crescente	crescente	decrescente

6. Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função secante é ímpar, pois para todo x onde a cossecante está definida, tem-se que:
   csc(x)=-csc(-x)