Números Complexos

Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C.
Números Complexos
Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:
z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.
Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:
z=(x,y)=x+yi
Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i ...

Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:
x=Re(z, parte real de z
y=Im(z), parte imaginária de z
Igualdade entre números complexos
Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1=z2<==> a=c e b=d
Adição de números complexos
Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1+z2=(a+c) + (b+d)
Subtração de números complexos
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1-z2=(a-c) + (b-d)
Potências de i
Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2=-1
i7 = i6. i =(-1).i=-i ......

Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão de n por 4.

Exemplo:
i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i

Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2
z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bci
z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1
Conjugado de um número complexo
Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z-) ==> z-= a-bi

Exemplo:
z=3 - 5i ==>
 z- = 3 + 5i
z = 7i ==> z- = - 7i
z = 3 ==> z- = 3

Divisão de números complexos
Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:
z1 / z2 = [z1.z2-] / [z2z2-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]

Módulo de um número complexo
Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a2+b2)1/2, conhecido como ro

Interpretação geométrica
Como dissemos, no início, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneira

Forma polar dos números complexos
Da interpretação geométrica, temos que:


que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.

Operações na forma polar
Sejam z1=ro1(cos t11) e z2=ro1(cos t1+i sent1). Então, temos que:

a)Multiplicação


Divisão


Potenciação


Radiciação


para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1
Exercícios Resolvidos

1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i
Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0
Temos que:
z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2

2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i2
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2

3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58

4 - Os módulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x?
Então, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2
Em decorrência,
x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5

5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
Efetuando-se a divisão, temos:
z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 - i
Para a forma trigonométrica, temos que:
r = (1 + 1)1/2 = 21/2
sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2
cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 21/2 ( cos 315º + i sen 315º )

Teorema de D’Alembert

O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio do tipo x – a. O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x – a terá resto R igual a P(a), para
x = a. O matemático francês D’Alembert provou, levando em consideração o teorema citado acima, que um polinômio qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0.


Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinômio por binômio (x –a), dessa forma não sendo preciso resolver toda a divisão para saber se o resto é igual ou diferente de zero.

Exemplo 1
Calcule o resto da divisão (x2 + 3x – 10) : (x – 3).

Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a:

P(3) = R
32 + 3 * 3 – 10 = R
9 + 9 – 10 = R
18 – 10 = R
R = 8
Portanto, o resto dessa divisão será 8.

Exemplo 2
Verifique se x5 – 2x4 + x3 + x – 2 é divisível por x – 1.

Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por um binômio se P(a) = 0.

P(1) = (1)5 – 2*(1)4 + (1)3 + (1) – 2
P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2
P(1) = 3 – 4
P(1) = – 1

Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será divisível pelo binômio x – 1.

Exemplo 3
Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão do polinômio
P(x) = x4 – mx3 + 5x2 + x – 3 por x – 2 seja 6.

Temos que, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6

P(2) = 24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3
24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3 = 6
16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6
– 8m = 6 – 38 + 3
– 8m = 9 – 38
– 8m = – 29
m = 29/8


Exemplo 4
Calcule o resto da divisão do polinômio 3x3 + x2 – 6x + 7 por 2x + 1.

R = P(x) → R = P(– 1/2)

R = 3*(–1/2)3 + (–1/2)2 – 6*(–1/2) + 7
R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

Polinômios

A operação de divisões é composta por dividendo, divisor, quociente e resto, no caso da divisão de polinômio por polinômio, considerando que cada um deles seja formado por mais de um monômio, iremos considerar a seguinte divisão: 

P(x) |G(x) 
R(x) D(x) 

Onde P(x) é o dividendo; G(x) divisor; D(x) quociente e R(x) resto. 

OBSERVAÇÃO: O resto em uma divisão de polinômio por polinômio pode ser: 
• Igual à zero, nesse caso a divisão é exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor. 
• Ou o resto pode ser diferente de zero, podendo assumir um valor real ou pode ser um polinômio, nesse caso será considerado resto um valor ou polinômio menor que o divisor. 

A explicação de divisão de polinômio por polinômio será feita através de um exemplo, onde todos os passos tomados serão explicados. 

Exemplo: resolva a seguinte divisão (6x⁴ – 10x³ + 9x² + 9x – 5) : (2x² – 4x + 5). 

Antes de iniciarmos o processo da divisão é preciso fazer algumas verificações: 

• Verificar se tanto o dividendo como o divisor está em ordem conforme as potências de x. 
• Verificar se no dividendo, não está faltando nenhum termo, se estiver é preciso completar. 

Feita as verificações podemos iniciar a divisão. 

O dividendo possui 5 monômios (termos) e o divisor possui 3 monômios (termos). 

6x⁴ – 10x³ + 9x² + 9x – 5  | 2x² – 4x + 5 

• Iremos dividir o 1º termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor: 

6x⁴ : 2x² = 3x² 

• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor). 

(2x² – 4x + 5) . (3x²) = 6x⁴ – 12x³ + 15x² 

• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 6x⁴ – 10x³ + 9x² + 9x – 5 (dividendo). 



• Agora iremos levar em consideração o polinômio 2x³ – 6x² + 9x - 5 e iremos dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x² – 4x + 5). 

2x³ : 2x² = x 

• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x² – 4x + 5 (divisor) 

(2x² – 4x + 5) . (x) = 2x³ – 4x² + 5x 

• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 2x³ – 6x² + 9x – 5. 




• Agora iremos levar em consideração o polinômio -2x2 +4x - 5e dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x² – 4x + 5). 

-2x² : 2x² = -1 

• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x² – 4x + 5 (divisor) 

(2x² – 4x + 5) . (-1) = - 2x² + 4x - 5 

• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio -2x² +4x – 5. 



Portando, podemos dizer que (6x⁴ – 10x³ + 9x² + 9x – 5) : (2x² – 4x + 5) = 3x² +x – 1, com resto igual a zero. Caso queira fazer a prova real, basta multiplicar (3x² +x – 1) por 2x² – 4x + 5 e verificar se a solução será 6x⁴ – 10x³ + 9x² + 9x – 5. Nesse caso, como o resto é zero, não é preciso somá-lo ao produto