Progressão Geométrica

Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequência: 

(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada. 

4 : 2 = 2 
8 : 4 = 2 
16 : 8 = 2 
32 : 16 = 2 
64 : 32 = 2 
O termo constante da progressão geométrica é denominado razão. 

Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar qualquer elemento de uma progressão geométrica. Veja:

Com base nessa expressão, temos que: 

a₂ = a₁ * q 
a₃ = a₁ * q² 
a₅ = a₁ * q⁴ 
a₁₀ = a₁ * q⁹ 
a₅₀ = a₁*q⁴⁹ 
a₁₀₀ = a₁*q⁹⁹ 


Exemplo 1 

Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG. 

a₈ = 4 * 3⁷ 
a₈ = 4 * 2187 
a₈ = 8748 

O 8º termo da PG descrita é o número 8748. 

Exemplo 2 

Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20º termo. 


a₂₀ = 3 * 3¹⁹ 
a₂₀ = 4 * 1.162.261.467 
a₂₀ = 4.649.045.868 



Soma dos termos de uma PG 
A soma dos termos de uma PG é calculada através da seguinte expressão matemática:

Exemplo 3 
Considerando os dados do exemplo 2, determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG.

Exemplo 4 

Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado durante todo o ano. Os valoresforam os seguintes: 

Janeiro: 98,00 
Fevereiro: 99,96 
Março: 101,96 
Abril: 104,00 
Maio: 106,08 

Calcule o gasto anual dessa dona de casa, considerando que em todos os meses o índice inflacionário foi constante. 

Os termos estão em progressão geométrica, observe: 

106,08 : 104 = 1,02 
104 : 101,96 = 1,02 
101,96 : 99,96 = 1,02 
99,96 : 98,00 = 1,02 

A razão dessa progressão geométrica é dada por 1,02, isto indica que a inflação entre os meses é de 2%. Vamos determinar a soma dos gastos dessa dona de casa, observe: