Formulas de arco.

Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade

Conhecendo-se as relações trigonométricas de um arco de medida a, podemos obter estas relações trigonométriuca para arcos de medidas 2a, 3a e a/2, que são consequências imediatas das fórmulas de soma de arcos.

Fórmulas de arco duplo

Como

sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)

dividindo a primeira expressão pela segunda, obtemos:

tan(a+b)=	sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b) cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)

Dividindo todos os 4 termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula:

tan(a+b)=	tan(a)+tan(b) 1-tan(a)tan(b)

Tomando b=a, obtemos algumas fórmulas do arco duplo:

sen(2a)=sen(a)cos(a)+cos(a)sen(a)=2sen(a)cos(a)
cos(2a)=cos(a)cos(a)-sen(a)sen(a)=cos²(a)-sin²(a)

de onde segue que

tan(2a)=	tan(a)+tan(a) 1-tan(a)tan(a)	=	2tan(a) 1-tan²(a)

Substituindo sin²(a)=1-cos²(a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o cosseno do arco duplo com o cosseno do arco:

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)
        = cos²(a) - (1-cos²(a)
        = 2 cos²(a) - 1

Substituindo cos²(a)=1-sin²(a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o seno do arco duplo com o seno do arco:

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)
        = 1 - sin²(a) - sin²(a))
        = 1 - 2sin²(a)

Fórmulas de arco triplo

Se b=2a em sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b), então

sen(3a)= sen(a+2a)
       = sen(a)cos(2a) + cos(a)sen(2a)
       = sen(a)[1-2sin²(a)]+[2sen(a)cos(a)]cos(a)
       = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)cos²(a))
       = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)[1-sin²(a)]
       = sen(a)-2sin³(a))+2sen(a)-2sin²(a))
       = 3 sen(a) - 4 sin³(a)

Se b=2a em cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b), então

cos(3a)= cos(a+2a)
       = cos(a)cos(2a) - sen(a)sen(2a)
       = cos(a)[2cos²(a)-1]-sen(a)[2sen(a)cos(a)]
       = cos(a)[2cos²(a)-1]-2sen²(a)cos(a)
       = cos(a)[2cos²(a)-1-2(1-cos²(a))]
       = cos(a)[2cos²(a)-3+2cos²(a)]
       = cos(a)[4cos²(a)-3]
       = 4 cos³(a) - 3 cos(a)

As fórmulas do arco triplo são

sen(3a) = 3sen(a)-4sin³(a)
cos(3a) = 4cos³(3a)-3cos(a)

Fórmulas de arco metade

Partindo das fórmulas do arco duplo

cos(2a) = 2cos²(a) - 1
cos(2a) = 1 - 2sin²(a)

e substituindo 2a=c, obtemos:

cos(c) = 2cos²(c/2) - 1
cos(c) = 1 - 2sin²(c/2)

Assim

sen²(c/2)=	1-cos(c) 2

cos²(c/2)=	1+cos(c) 2

Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos a tangente da metade do arco, dada por:

tan²(c/2)=	1-cos(c) 1+cos(c)

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, obtemos uma fórmula que expressa a tangente da metade do arco em função do cosseno do arco.