Funções circulares
As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.
Funções reais
Devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais, iniciaremos então com a definição de funções.
Função: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f de A em B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B.
O conjunto A é denominado o domínio de f, o conjunto B é denominado contradomínio de f. O elemento y de B que corresponde ao elemento x de A de acordo com a lei f, é denominado imagem de x por f e é indicado por y=f(x).
O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de A é denominado conjunto Imagem de f.
Uma função f é denominada função real de variável real, se o domínio e contradomínio de f são subconjuntos do conjunro dos números reais.
Função periódica: Uma função real f, com domínio em A subconjunto da reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T, tal que para todo x em A, vale
f(x+T) = f(x)
Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor número positivo T, que satisfaz a esta condição recebe o nome de período fundamental.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x-[x], onde [x] é a parte inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica de período fundamental T=1.
Função limitada: Uma função f de domínio A contido em R é limitada, se existe um número real positivo L, tal que para todo x em A, valem as desigualdades:
-L < f(x) < L
Esta última expressão pode ser escrita como |f(x)|<L.
Exemplo: A função real f(x)=2x/(1+x²) é limitada pois
-1 < x/(1+x²) < 1
Funções crescentes e decrescentes
Seja f uma função definida em um intervalo I, x e y dois valores quaisquer pertencentes a I, com x<y. Afirmamos que f é crescente, se f(x)<f(y) e que f é decrescente, se f(x)>f(y).
Exemplo: A função real f(x)=2x+1 é crescente e a função real f(x)=e-x é decrescente.
Funções pares e ímpares
- Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do domínio de f:f(-x) = f(x)Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY.Exemplo: A função real definida por f(x)=x² é par.
- Função ímpar: Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do domínio de f:f(-x) = -f(x)Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0,0) do sistema de eixos cartesiano.Exemplo: A função real definida por f(x)=x³ é ímpar.
Função seno
Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a cada x em R, o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por f(x)=sen(x) ou y=sen(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].
x | 0 | /4 | /2 | 3 /4 | 5/4 | 3/2 | 7/4 | 2 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | 0 | ½ | 1 | ½ | 0 | -½ | -1 | -½ | 0 |
Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.
Propriedades da função seno
- Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.
- Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1<y<1}
- Periodicidade: A função é periódica de período 2. Para todo x em R e para todo k em Z:sen(x) = sen(x+2) = sen(x+4) =...= sen(x+2k)Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temossen(x+2k) = sen(x)cos(2k ) + cos(x)sen(2k )para k em Z, cos(2k )=1 e sen(2k )=0sen(x+2k) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)A função seno é periódica de período fundamental T=2.Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2.
- Sinal:
Intervalo [0,/2] [/2,] [,3/2] [3/2,2] Função seno positiva positiva negativa negativa - Monotonicidade:
Intervalo [0,/2] [/2,] [,3/2] [3/2,2] Função seno crescente decrescente decrescente crescente - Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:-1 < sen(x) < 1
- Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:sen(-x) = -sen(x)
Função cosseno
Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o número real cos(x). Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y=cos(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].
x | 0 | /4 | /2 | 3 /4 | 5/4 | 3/2 | 7/4 | 2 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | 1 | ½ | 0 | ½ | -1 | -½ | 0 | ½ | 1 |
Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.
Propriedades da função cosseno
- Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos)=R.
- Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1}
- Periodicidade: A função é periódica de período 2. Para todo x em R e para todo k em Z:cos(x)=cos(x+2)=cos(x+4)=...=cos(x+2k)Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temoscos(x+2k)=cos(x) cos(2k )-sen(x) sen(2k )Para todo k em Z: cos(2k )=1 e sen(2k)=0, entãocos(x+2k)=cos(x) (1)-sen(x) (0)=cos(x)A função cosseno é periódica de período fundamental T=2.
- Sinal:
Intervalo [0,/2] [/2,] [,3/2] [3/2,2] Função cosseno positiva negativa negativa positiva - Monotonicidade:
Intervalo [0,/2] [/2,] [,3/2] [3/2,2] Função cosseno decrescente decrescente crescente crescente - Limitação: O gráfico de y=cos(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:-1 < cos(x) < 1
- Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, tem-se que:cos(-x) = cos(x)
Função tangente
Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1)/2 onde k está em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x).
f(x) = tan(x) = | sen(x) cos(x) |
---|
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].
x | 0 | /4 | /2 | 3 /4 | 5/4 | 3/2 | 7/4 | 2 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | 0 | 1 | não existe | -1 | 0 | 1 | não existe | -1 | 0 |
Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).
Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo de /2 (ou de -/2), a função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.
Propriedades
- Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k, onde k em Z, temosDom(tan)={x em R: x diferente de /2+k}
- Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
- Periodicidade A função é periódica e seu período éPara todo x em R, sendo x diferente de /2+k, onde k pertence a Ztan(x)=tan(x+)=tan(x+2)=...=tan(x+k)Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos
tan(x+k) = tan(x)+tan(k)
1-tan(x).tan(k)= tan(x)+0
1-tan(x).0= tan(x) A função tangente é periódica de período fundamental T=.Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam. - Sinal:
Intervalo [0,/2] [/2,] [,3/2] [3/2,2] Função tangente positiva negativa positiva negativa - Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x=k/2, k inteiro, onde a função não está definida.
- Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1)/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
- Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a tangente está definida, tem-se que:tan(x)=-tan(-x)
Função cotangente
Como a cotangente não existe para arcos da forma (k+1) onde k é um inteiro, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada x real, a cotangente de x, denotada por:
f(x)=cot(x)= | cos(x) sen(x) |
---|
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].
x | 0 | /4 | /2 | 3 /4 | 5/4 | 3/2 | 7/4 | 2 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | não existe | 1 | 0 | -1 | não existe | 1 | 0 | -1 | não existe |
Gráfico: O segmento Os' mede cot(x).
Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco AM está próxima de (ou -), podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito radamente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interceção com a reta s vai se tornando muito longe.
Propriedades
- Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma +k, onde k em Z, temosDom(cot)={x em R: x é diferente de (k+1)}
- Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
- Periodicidade A função é periódica e seu período éPara todo x em R, sendo x diferente de +k, onde k em Zcot(x)=cot(x+)=cot(x+2)=...=cot(x+k)A função cotangente é periódica de período fundamental 2.
- Sinal:
Intervalo [0,/2] [/2,] [,3/2] [3/2,2] Função tangente positiva negativa positiva negativa - Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x=k, k inteiro, onde a função não está definida.
- Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
- Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:cot(x)=-cot(-x)
Função secante
Como a secante não existe para arcos da forma (2k+1)/2 onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função secante como a relação que associa a este x real, a secante de x, denotada por sec(x).
f(x)=sec(x)= | 1 cos(x) |
---|
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].
x | 0 | /4 | /2 | 3 /4 | 5/4 | 3/2 | 7/4 | 2 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | 1 | não existe | - | -1 | - | não existe | 1 |
Gráfico: O segmento OV mede sec(x).
Quando x assume valores próximos de /2 ou de 3/2, cos(x) se aproxima de zero e a fração 1/cos(x) em valor absoluto, tende ao infinito.
Propriedades
- Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k, onde k em Z, temosDom(sec)={x em R: x é diferente de (2k+1)/2}
- Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da secante, temos que sec(x) < -1 ou sec(x) ³ 1, assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjuntos:Im(sec)={y emR: y < -1 ou y ³ 1}
- Periodicidade A função é periódica e seu período é 2Para todo x em R, sendo x diferente de +k, onde k em Zsec(x)=sec(x+2)=sec(x+4)=...=sec(x+2k),por este motivo, a função secante é periódica e seu período é 2, podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
- Sinal:
Intervalo [0,/2] [/2,] [,3/2] [3/2,2] Função secante positiva negativa negativa positiva - Monotonicidade:
Intervalo [0,/2] [/2,] [,3/2] [3/2,2] Função secante crescente crescente decrescente decrescente - Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1)/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
- Simetria: A função secante é par, pois para todo x onde a secante está definida, tem-se que:sec(x)=sec(-x)
Função cossecante
Como a cossecante não existe para arcos da forma k onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definir a função cossecante como a relação que associa a este x real, a cossecante de x, denotada por csc(x)
f(x)=csc(x)= | 1 sen(x) |
---|
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].
x | 0 | /4 | /2 | 3 /4 | 5/4 | 3/2 | 7/4 | 2 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | não existe | 1 | não existe | - | -1 | - | não existe |
Gráfico: O segmento OU mede csc(x).
Quando x assume valores próximos de 0, ou de 2, sen(x) se aproxima de zero e a fração 1/sen(x) em valor absoluto, tende ao infinito.
Propriedades
- Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma k, onde k em Z, temosDom(csc)={x em R: x diferente de k}
- Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da cossecante, temos que csc(x)<-1 ou csc(x)>1, assim o conjunto imagem da cossecante é dado pelos conjuntos:Im(csc)={y em R: y < -1 ou y > 1}
- Periodicidade: A função é periódica e seu período é 2Para todo x em R, sendo x diferente de k, onde k em Zcsc(x)=csc(x+)=csc(x+2)=...=csc(x+k)por este motivo, a função cossecante é periódica e seu período é 2, podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
- Sinal:
Intervalo [0,/2] [/2,] [,3/2] [3/2,2] Função cossecante positiva positiva negativa negativa - Monotonicidade:
Intervalo [0,/2] [/2,] [,3/2] [3/2,2] Função cossecante decrescente crescente crescente decrescente - Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k, a função cresce (ou decresce) sem controle.
- Simetria: A função secante é ímpar, pois para todo x onde a cossecante está definida, tem-se que:csc(x)=-csc(-x)
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