Seno, Cosseno e Tangente.

Seno e cosseno

Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A=(1,0) e um número real x, existe sempre um arco orientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos.

Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina um ponto C=(x',0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B=(0,y').

A medida do segmento OB coincide com a ordenada y' do ponto M e é definida como o seno do arco AM que corresponde ao ângulo a, denotado por sen(AM) ou sen(a).

Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos

sen(AM)=sen(a)=sen(a+2k)=y'

Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco de medida x radianos.

Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), é a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa x' do ponto M.

Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos

cos(AM) = cos(a) = cos(a+2k) = x'

Tangente

Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a.

Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:

tan(AM) = tan(a) = tan(a+k) = µ(AT) = t'

Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos.

Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo horizontal OX. Neste caso:

cos(0)=1,    sen(0)=0    e    tan(0)=0

Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes

Ângulos no segundo quadrante

Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao intervalo /2<a<. Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. Como o ponto M=(x,y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, o cosseno do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa.

Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo vertical OY e neste caso:

cos(/2)=0    e    sen(/2)=1

A tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas.

Ângulos no terceiro quadrante

O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo pertence ao intervalo: <a<3/2. Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M'=(-x,-y) do primeiro quadrante, em relação à origem do sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva.

Em particular, se a= radianos, temos que

cos()=-1,    sen()=0    e    tan()=0

Ângulos no quarto quadrante

O ponto M está no quarto quadrante, 3/2<a< 2. O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, o cosseno é positivo e a tangente é negativa.

Quando o ângulo mede 3/2, a tangente não está definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas são paralelas. Quando a=3/2, temos:

cos(3/2)=0,   sin(3/2)=-1

Simetria em relação ao eixo OX

Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M' o simétrico de M em relação ao eixo OX, estes pontos M e M' possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.

Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM', obtemos:

sen(a) = -sen(b)
cos(a) = cos(b)
tan(a) = -tan(b)

Simetria em relação ao eixo OY

Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico a M em relação ao eixo OY, estes pontos M e M' possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas.

Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo:

sen(a) = sen(b)
cos(a) = -cos(b)
tan(a) = -tan(b)

Simetria em relação à origem

Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico de M em relação a origem, estes pontos M e M' possuem ordenadas e abscissas simétricas.

Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo:

sen(a) = -sen(b)
cos(a) = -cos(b)
tan(a) = tan(b)

Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis

Uma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com muita frequência em exercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples observação no círculo trigonométrico.

Primeira relação fundamental

Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as áreas da Matemática e também das aplicações é:

sin²(a) + cos²(a) = 1

que é verdadeira para todo ângulo a.

Necessitaremos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do que a relação de Pitágoras. Sejam dois pontos, A=(x',y') e B=(x",y").

Definimos a distância entre A e B, denotando-a por d(A,B), como:

Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são indicadas por (cos(a),sen(a)) e a distância deste ponto até a origem (0,0) é igual a 1. Utilizando a fórmula da distância, aplicada a estes pontos, d(M,0)=[(cos(a)-0)²+(sen(a)-0)²]^1/2, de onde segue que 1=cos²(a)+sin²(a).

Segunda relação fundamental

Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a definição da função tangente, é dada por:

tan(a) =	sen(a) cos(a)

Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular.

Se a=0, a= ou a=2, temos que sen(a)=0, implicando que tan(a)=0, mas se a=/2 ou a=3/2, segue que cos(a)=0 e a divisão acima não tem sentido, assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes últimos valores de a.

Para a0, a, a2, a/2 e a3/2, considere novamente a circunferência trigonométrica na figura seguinte.

Os triângulos OMN e OTA são semelhantes, logo:

AT MN	=	OA ON

Como AT=|tan(a)|, MN=|sen(a)|, OA=1 e ON=|cos(a)|, para todo ângulo a, 0<a<2 com a/2 e a3/2 temos

tan(a) =	sen(a) cos(a)

Forma polar dos números complexos

Um número complexo não nulo z=x+yi, pode ser representado pela sua forma polar:

z = r [cos(c) + i sen(c)]

onde r=|z|=R[x²+y²], i²=-1 e c é o argumento (ângulo formado entre o segmento Oz e o eixo OX) do número complexo z.

A multiplicação de dois números complexos na forma polar:

A = |A| [cos(a)+isen(a)]
B = |B| [cos(b)+isen(b)]

é dada pela Fórmula de De Moivre:

AB = |A||B| [cos(a+b)+isen(a+b)]

Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar os seus módulos e somar os seus argumentos.

Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse caso

A = cos(a) + i sen(a)
B = cos(b) + i sen(b)

Multiplicando A e B, obtemos

AB = cos(a+b) + i sen(a+b)

Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se "óiler"), garantindo que para todo número complexo z e também para todo número real z:

e^iz = cos(z) + i sen(z)

Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra forma para representar números complexos unitários A e B, como:

A = e^ia = cos(a) + i sen(a)
B = e^ib = cos(b) + i sen(b)

onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim,

e^i(a+b) = cos(a+b)+isen(a+b)

Por outro lado

e^i(a+b) = e^ia . e^ib = [cos(a)+isen(a)] [cos(b)+isen(b)]

e desse modo

e^i(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
            + i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)]

Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, logo

cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
sen(a+b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)

Para a diferença de arcos, substituímos b por -b nas fórmulas da soma

cos(a+(-b)) = cos(a)cos(-b) - sen(a)sen(-b)
sen(a+(-b)) = cos(a)sen(-b) + cos(-b)sen(a)

para obter

cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
sen(a-b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b)

Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença

Na circunferência trigonométrica, sejam os ângulos a e b com 0£a£2 e 0£b£2, a>b, então;

sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)

Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos:

tan(a+b)=	sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b) cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)

Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula:

tan(a+b)=	tan(a)+tan(b) 1-tan(a)tan(b)

Como

sen(a-b) = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b)
cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)

podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter:

tan(a-b)=	tan(a)-tan(b) 1+tan(a)tan(b)