Notações e definições
As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem.
Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como ai,j ou a[i,j].
Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz 1 × n (uma linha e n colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz m × 1(uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.
Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R, etc) ou a partir de 0 (C e seus dialetos). Por exemplo, o elemento a(1,1) em Fortran corresponde ao elemento a[0][0] em C.
[editar]Exemplos
A matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais
Nesse exemplo, o elemento a1 2 é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.
As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, aij = i + j, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a matriz 3x2 .
[editar]Algumas definições
[editar]Matriz transposta
A matriz transposta de uma matriz Am × n é a matriz Atn × m em que , ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos oselementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da m coluna. Exemplo:
Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos aij onde i = j, para i de 1 a n.
[editar]Matriz identidade
A matriz identidade In é a matriz quadrada n × n que tem todos os membros da diagonal principal iguais a 1 e 0 nas outras posições. Exemplo: .
A única matriz identidade que não contém zero é a matriz identidade de ordem 1:
[editar]Matriz simétrica
Uma matriz A é simétrica se A = At. Isso só ocorre com matrizes quadradas.
[editar]Operações envolvendo matrizes
[editar]Multiplicação por um escalar
A multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes. Para multiplicar um número k qualquer por uma matriz n×m A, basta multiplicar cada entrada aij de A por k. Assim, a matriz resultante B será também n×m e bij = k.aij. Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.
Por exemplo:
~~Adição e subtração entre matrizes ~~
Dado as matrizes A e B do tipo m por n, sua soma A + B é a matriz m por n computada adicionando os elementos correspondentes: (A + B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j].
Por exemplo:
Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer A-B, você usará A+B.
Lembre-se: Você só pode fazer isso com Matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo: em -A+B, o A que poderá ser reescrito.
[editar]Multiplicação de matrizes
Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se A é uma matriz m por n e B é uma matrizn por p, então seu produto AB é a matriz m por p (m linhas e p colunas) dada por:
para cada par i e j.
Por exemplo:
A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades:
z A e B m×n e matriz C k×m ("distribuição à esquerda").
É importante notar que a comutatividade não é geralmente garantida; isto é, dados as matrizes A e B com seu produto definido, então geralmente AB ≠ BA.
Algoritmo para a multiplicação de uma matriz A por uma matriz B, sendo o resultado gravado numa matriz C:
[editar]Propriedades
[editar]Determinante
O determinante é uma propriedade matricial útil na resolução de sistema de equações lineares (que sempre podem ser representados através de matrizes), além de outras aplicações matemáticas.
[editar]Transposta da Multiplicação
Para respeitar a correspondência entre linhas e colunas de uma multiplicação, a transposta de uma multiplicação de matrizes é dada como a transposta de cada matriz multiplicada na ordem inversa.
Para o caso de duas matrizes:
(A * B)t = Bt * At
No caso de N matrizes:
(A * B * C * ... * N)t = Nt * ... * Bt * At
[editar]Característica
A característica de uma matriz é um inteiro não negativo que representa o número máximo de linhas (ou colunas) da matriz que são linearmente independentes.[1] De acordo com o teorema deKronecker, temos que a característica de uma matriz B é c se e somente se:
- Existe pelo menos uma submatriz c*c cujo determinante é diferente de zero.
- Toda submatriz quadrada de ordem superior a c tem determinante zero.
Um menor de uma matriz é o determinante de uma de suas submatrizes. Logo, B tem a característica c quando pelo menos uma de suas submatrizes tem um determinante c não nulo (seu menor) e todo menor de ordem superior é igual a zero.
Se c for não nulo, então c é o maior inteiro não-negativo tal que B possui pelo menos uma submatriz c * c com determinante diferente de zero. De acordo com a definição,
Onde m é o número de linhas e n o número de colunas de B.
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